LONGITUDES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI. 

Longitud del arco de la línea límite. En la figura 38 el arco ADB de la circunferencia euclidiana con centro O en la recta u representa un segmento de la recta hiperbólica, y el segmento euclidiano AB, que es paralelo a u, representa un arco de la línea límite. 

Longitud de la circunferencia. Previamente demostraremos dos proposiciones auxiliares. 

a) Si a es una magnitud positiva suficientemente pequeña resulta que tanh a < a19.

b) Teniendo presente que los perímetros de los polígonos regulares de n lados, el inscrito y el circunscrito en la circunferencia euclidiana de radio 1, al crecer n ilimitadamente tienden a un mismo límite igual a la longitud de esta circunferencia.

Longitud del arco de la equidistante. Supongamos que los puntos P1, P2,..., Pn-1, que se encuentran a las distancias euclidianas y1, y2,..., yn-1, de la recta u, dividen el segmento AB en n partes euclídicamente iguales, y supongamos que las longitudes euclidianas de los segmentos OB y AB son iguales, respectivamente, a yω y ζ (figura 40; OBu). Examinemos los arcos AA', P1P1',..., BB' de las circunferencias euclidianas con el centro común O, que representan perpendiculares trazadas desde las puntos de la equidistante OB’ sobre su base OB.