ALGUNOS TEOREMAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI.

• Teorema 1. La suma de los ángulos de cualquier triángulo e menor de 2d. Examinemos primeramente eL triángulo rectángulo ABC (figura). Sus lados a, b, c se exponen, respectivamente, en forma de un segmento de la perpendicular euclidiana a la recta u, de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro M y de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro N. El ángulo C es recto. El ángulo A es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias b y c en el punto A o, lo que es lo mismo, al ángulo entre los radios NA y MA de estas circunferencias. Por último, B = BNM.

                                         

• Teorema 2. La suma de los ángulos del cuadrilátero es menor de 4d. Para la demostración es suficiente dividir diagonalmente el cuadrilátero en dos triángulos.  

• Teorema 3. Dos rectas divergentes tienen una, y solamente una, perpendicular común Supongamos que una de las rectas divergentes dadas se expone en la carta  en forma de la perpendicular euclidiana p a la recta u en el punto M, la otra se expone en forma de la semicircunferencia euclidiana q con el centro en u y, además, p y q no tienen puntos comunes (figura). Semejante disposición de dos rectas hiperbólicas divergentes en la carta siempre puede ser alcanzada mediante el correspondiente movimiento hiperbólico. Tracemos desde M la tangente euclidiana MM a q y, con el radio MN, describamos desde el centro M la semicircunferencia m. Es obvio que m es una recta hiperbólica que corta tanto p como q en un ángulo recto. 

• Teorema 4. La proyección rectangular del lado de un ángulo agudo sobre el otro lado es un segmento (y no una semirrecta como lo es en la geometría de Euclides).

                                     

La justeza del teorema es evidente de la figura, donde el segmento AB es la proyección rectangular del lado AB del ángulo agudo BAC sobre su lado AC.

En esta misma figura, el arco DE de la circunferencia euclidiana con el centro en M es la perpendicular a la recta hiperbólica AC. Esta perpendicular no se corta con la oblicua AB. Por lo tanto, la suposición que la perpendicular y la oblicua a una misma recta siempre se cortan contradice al axioma del paralelismo de Lobachevski, y es equivalente al axioma del paralelismo de Euclides. 

• Teorema 5. Si los tres ángulos del triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos del triángulo A'B'C', dichos triángulos son iguales. Admitamos lo contrario y tracemos respectivamente en los rayos AB y AC los segmentos AB1 = A'B', AC1 = A'C'. Es evidente que los triángulos AB1C1 y A'B'C' son iguales por dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. El punto B1 no coincide con B, el punto C1 no coincide con C, ya que en cualquier de estos casos tendría lugar la igualdad de los triángulos dados, cosa que contradice a lo admitido. 

       

Examinemos las posibilidades siguientes.

 A. El punto B1 se encuentra entre A y B, y C1 se encuentra entre A y C (figura 33; en esta figura, y también en la siguiente, las recias hiperbólicas se exponen convencionalmente en forma de rectas euclidianas). No es difícil convencerse que la suma de los ángulos del cuadrilátero BCC1B1 es igual a 4d, cosa imposible en virtud del teorema 2. 

B. El punto B1 se encuentra entre A y B, y C se encuentra entre A y C1 (figura 34). Designemos por D el punto de intersección de los segmentos BC y B1C1. Puesto que  C = C’ y C’ = C1, resulta que C = lo que es imposible, ya que el ángulo C es externo respecto al triángulo CC1D16 De manera análoga se enfocan también otros casos posibles. El teorema ha sido demostrado pues la admisión que hicimos nos condujo a una contradicción. Del teorema 5 se deduce que en la geometría de Lobachevski no existe un triángulo semejante al triángulo dado que no sea igual a éste.