A mi blog, en el podrán encontrar muchísima información lo cual me imagino que les podrá ayudar en varias cosas del colegio ya que necesiten cualquier información sobre Nikolai Lobachevski, principalmente en las conjeturas relacionadas con el cálculo tensorial aplicados a los vectores

Blog Matemático.

Nikolai Ivanovich Lobachevski.

Presentado Por:

Jhoan Sebastian Pedraza Prado.

Presentado A:

Erika Ariza Garcia.

Colegio San Luis Gonzaga.

Grado 11*.

Girón.

2017.

INTRODUCCIÓN.

En el blog podrán encontrar toda la información que necesiten del matemático Nikolai Lobachevski su importancia en el cálculo, una serie  de fórmulas y  procedimientos matemáticos, porque las matemáticas son la ciencia que se ocupa  de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de comunicación, etc. Por eso verán a continuación un blog tan interesante, divertido de leer y analizar las matemáticas, también tanto histórica como social mente, forman parte de nuestra cultura, por eso los individuos deben ser capaces de apreciarlas y comprender las. Es evidente, que en nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas, como lo verán a continuación.

OBJETIVOS DEL BLOG.

Mi objetivo con el blog es llegar a entender quien fue Nikolai Ivanovich. Que hizo o realizo en el transcurso de su vida, pero también que conocieran su geometría y teoremas que nos llegasen a servir en un futuro, por eso les muestro la vida de este personaje muy importante para el mundo del calculo y las matemáticas.

otros de mis objetivos con el blog serian como, usar las matemáticas para comprender, valorar y producir informaciones sobre hechos cotidianos. Reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento, usar adecuadamente los medios tecnológicos en el cálculo y en la búsqueda, y representación de informaciones diversas, identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, usar sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

LONGITUDES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI. 

Longitud del arco de la línea límite. En la figura 38 el arco ADB de la circunferencia euclidiana con centro O en la recta u representa un segmento de la recta hiperbólica, y el segmento euclidiano AB, que es paralelo a u, representa un arco de la línea límite. 

Longitud de la circunferencia. Previamente demostraremos dos proposiciones auxiliares. 

a) Si a es una magnitud positiva suficientemente pequeña resulta que tanh a < a19.

b) Teniendo presente que los perímetros de los polígonos regulares de n lados, el inscrito y el circunscrito en la circunferencia euclidiana de radio 1, al crecer n ilimitadamente tienden a un mismo límite igual a la longitud de esta circunferencia.

Longitud del arco de la equidistante. Supongamos que los puntos P1, P2,..., Pn-1, que se encuentran a las distancias euclidianas y1, y2,..., yn-1, de la recta u, dividen el segmento AB en n partes euclídicamente iguales, y supongamos que las longitudes euclidianas de los segmentos OB y AB son iguales, respectivamente, a yω y ζ (figura 40; OBu). Examinemos los arcos AA', P1P1',..., BB' de las circunferencias euclidianas con el centro común O, que representan perpendiculares trazadas desde las puntos de la equidistante OB’ sobre su base OB. 

ACERCA DE LOS LOGARITMOS NATURALES Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS.

Establezcamos previamente algunas correlaciones importantes. Introducimos las designaciones: 

                 (10)

donde n es un número entero positivo. Es evidente que  

                                   (11)

De las igualdades (10) y (11) obtenemos: 

                                                                  (12)

                                                    (13)

                                    

Al descomponer el segundo miembro de la última igualdad en factores obtenemos 

                           

Sustituyendo en los corchetes cada uno de los factores 1 + 1/n+1 por 1 + 1/n aumentaremos la expresión (14) lo que, después de las simplificaciones, conducirá a la desigualdad 

                                                   

De aquí, en virtud de la igualdad (12) tendremos 

bn - an+1 < bn - an 

o 

an+1 > an

Por consiguiente, la magnitud an, crece con el incremento del número n. Sustituyamos ahora en los corchetes de la expresión (14) cada uno de los factores  (formula10-8) por (formula10-7). Como resultado, la expresión (14) disminuirá lo que, después de las simplificaciones, conducirá a la desigualdad 

                                                     (15)

Es fácil convencerse que 

                                           (16)

efectivamente, después de las simplificaciones, de aquí obtenemos:

                                                       

                                                                

                                     ( n + 1) ² > n ( n + 2)

La justeza de la última desigualdad es evidente. De (15), (16) y (13) obtenemos  

b _n - a _n+1 > b _n+1 - a _n+1                                                             Por eso, 
b _n > b _n+1 

Así pues, la magnitud bn disminuye con el incremento del número n. Puesto que a1 = 2, b1 = 4, de lo anterior deducimos que 
                                    2 = a _n < b _n = 4.

De aquí y de (12) se deduce la desigualdad 

            b _n - a _n < 4/n           (17) 

Como al crecer el número n crece también an, disminuye bn, y la diferencia bn - an, tiende a cero, lo que se deduce de (17), las magnitudes an y bn, tienden a un mismo límite que se ha admitido designar con la letra e, y además, la primera siempre es inferior y la segunda superior que este límite. Así
 

                                                                                    (18)

                                                          (19)

En particular, cuando n = 1 tenemos

                                                 2 < e < 4            (20) 

El número e es irracional y su valor aproximado es igual a 2,71828. De las desigualdades (19) se deduce la igualdad aproximada 

                                                                             (21)

OBSERVACIONES COMPLEMENTARIAS. 

• Al examinar la carta t puede hacerse una serie de deducciones importantes. En primer lugar, todo teorema de la geometría de Lobachevski se lleva en la carta t a cierto teorema de la geometría de Euclides. Por eso, la existencia de una contradicción en la geometría de Lobachevski llevaría tras de sí otra contradicción en la geometría euclidiana. Por consiguiente, la geometría de Lobachevski no es contradictoria. 

• En segundo lugar, el conocimiento de la geometría de Lobachevski facilita extraordinariamente la revelación de errores en los intentos de demostrar el axioma del paralelismo de Euclides que, en la mayoría de los casos, se reduce a la admisión de una suposición equivalente a este axioma. Para convencerse de lo infundada que es dicha suposición es suficiente demostrar que ésta contradice al axioma del paralelismo de Lobachevski. 

• Pondremos un ejemplo más. El matemático del siglo pasado Farkas Bolyai (el padre del mencionado más arriba Juan Bolyai) propuso una demostración del axioma del paralelismo de Euclides que se basaba en la suposición que a través de tres puntos que no pertenecen a una recta siempre puede ser trazada una circunferencia, F. Bolyai consideraba este hecho evidente, pero en la geometría de Lobachevski no tiene lugar, ya que a través de tres puntos del plano de Lobachevski que no se encuentran en una recta pasa o bien una circunferencia, o bien la línea limite, o bien la equidistante y por consiguiente, a través de tales tres puntos no siempre puede ser trazada una circunferencia.

• Lobachevski en sus investigaciones no hacía uso del método de construcción de cartas en el plano hiperbólico; este método fue propuesto por primera vez por el matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900) en una de sus obras editada en 1868, pasados 12 años desde la muerte del gran geómetra ruso. La carta del plano de Lobachevski, que examinamos en nuestro libro y que se diferencia considerablemente de la carta construida por Beltrami, fue introducida en la ciencia por el científico francés Henri Poincaré (1854-1912)

ALGUNOS TEOREMAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI.

• Teorema 1. La suma de los ángulos de cualquier triángulo e menor de 2d. Examinemos primeramente eL triángulo rectángulo ABC (figura). Sus lados a, b, c se exponen, respectivamente, en forma de un segmento de la perpendicular euclidiana a la recta u, de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro M y de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro N. El ángulo C es recto. El ángulo A es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias b y c en el punto A o, lo que es lo mismo, al ángulo entre los radios NA y MA de estas circunferencias. Por último, B = BNM.

                                         

• Teorema 2. La suma de los ángulos del cuadrilátero es menor de 4d. Para la demostración es suficiente dividir diagonalmente el cuadrilátero en dos triángulos.  

• Teorema 3. Dos rectas divergentes tienen una, y solamente una, perpendicular común Supongamos que una de las rectas divergentes dadas se expone en la carta  en forma de la perpendicular euclidiana p a la recta u en el punto M, la otra se expone en forma de la semicircunferencia euclidiana q con el centro en u y, además, p y q no tienen puntos comunes (figura). Semejante disposición de dos rectas hiperbólicas divergentes en la carta siempre puede ser alcanzada mediante el correspondiente movimiento hiperbólico. Tracemos desde M la tangente euclidiana MM a q y, con el radio MN, describamos desde el centro M la semicircunferencia m. Es obvio que m es una recta hiperbólica que corta tanto p como q en un ángulo recto. 

• Teorema 4. La proyección rectangular del lado de un ángulo agudo sobre el otro lado es un segmento (y no una semirrecta como lo es en la geometría de Euclides).

                                     

La justeza del teorema es evidente de la figura, donde el segmento AB es la proyección rectangular del lado AB del ángulo agudo BAC sobre su lado AC.

En esta misma figura, el arco DE de la circunferencia euclidiana con el centro en M es la perpendicular a la recta hiperbólica AC. Esta perpendicular no se corta con la oblicua AB. Por lo tanto, la suposición que la perpendicular y la oblicua a una misma recta siempre se cortan contradice al axioma del paralelismo de Lobachevski, y es equivalente al axioma del paralelismo de Euclides. 

• Teorema 5. Si los tres ángulos del triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos del triángulo A'B'C', dichos triángulos son iguales. Admitamos lo contrario y tracemos respectivamente en los rayos AB y AC los segmentos AB1 = A'B', AC1 = A'C'. Es evidente que los triángulos AB1C1 y A'B'C' son iguales por dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. El punto B1 no coincide con B, el punto C1 no coincide con C, ya que en cualquier de estos casos tendría lugar la igualdad de los triángulos dados, cosa que contradice a lo admitido. 

       

Examinemos las posibilidades siguientes.

 A. El punto B1 se encuentra entre A y B, y C1 se encuentra entre A y C (figura 33; en esta figura, y también en la siguiente, las recias hiperbólicas se exponen convencionalmente en forma de rectas euclidianas). No es difícil convencerse que la suma de los ángulos del cuadrilátero BCC1B1 es igual a 4d, cosa imposible en virtud del teorema 2. 

B. El punto B1 se encuentra entre A y B, y C se encuentra entre A y C1 (figura 34). Designemos por D el punto de intersección de los segmentos BC y B1C1. Puesto que  C = C’ y C’ = C1, resulta que C = lo que es imposible, ya que el ángulo C es externo respecto al triángulo CC1D16 De manera análoga se enfocan también otros casos posibles. El teorema ha sido demostrado pues la admisión que hicimos nos condujo a una contradicción. Del teorema 5 se deduce que en la geometría de Lobachevski no existe un triángulo semejante al triángulo dado que no sea igual a éste.

Acerca  De La Geometría de Lobachevski.

• RESPECTO AL ORIGEN DE LOS AXIOMAS Y SU PAPEL EN LA GEOMETRÍA.

Para aclarar el papel de los axiomas examinaremos en rasgos generales las etapas más importantes del desarrollo de la geometría desde los tiempos remotos. La patria de la geometría son los países del Antiguo Oriente donde, hace varios milenios y debido a las necesidades de la agrimensura, arquitectura y astronomía, fueron elaborados importantes principios de aspecto práctico para la medición de ángulos, áreas de algunas figuras y volúmenes de los cuerpos más simples. Estos principios se elaboraron empíricamente (por vías prácticas) y. por lo visto, se transmitían oralmente; en los textos matemáticos que llegaron hasta nosotros hallamos frecuentemente aplicaciones de los principios geométricos, pero no encontramos tentativas de formularlos. 

                                 

• INVERSIÓN.

Supongamos que se enseñó una regla que permite pasar de cualquier figura dada a otra, de tal manera que la segunda figura queda absolutamente determinada si se ha dado la primera y viceversa. Dicho paso se denomina transformación geométrica. La inversión, a la par con la traslación paralela, la transformación de similitud, el giro de la figura y la proyección, pertenece también al número de transformaciones geométricas más usuales. Por ejemplo, esta transformación se utiliza amplia mente en la matemática como método para la resolución de problemas de construcción, en la teoría de las funciones de variable compleja, en el estudio de las cartas de la superficie de Lobachevski. 

Examinemos la figura 3 donde AB es la tangente a la circunferencia k y BA’ es la perpendicular a OA. Puesto que OA’ es la proyección del cateto OB del triángulo rectángulo OAB sobre la hipotenusa OA

 OA · OA’ = OB2 = r 2 

y, por consiguiente, los puntos A y A’ son simétricos respecto a k. De aquí que sea evidente la construcción del punto A’, si se ha dado el punto A, y la del punto A si se ha dado el punto A’.

                                                                          

• CARTA DEL PLANO DE LOBACHEVSKI.  

Examinemos el plano ω y, en él, la recta u, que divide a ω en los semiplanos  y '. Supongamos que el semiplano  representa la carta de cierto espacio bidimensional H. Vamos a diferenciar la longitud s de la línea del espacio H y la longitud σ de la imagen de esta línea en la carta dada; a las magnitudes s y σ las denominaremos, respectivamente, longitudes hiperbólica y euclidiana. 

                              

• LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO DE LOBACHEVSKI.  

Aclaremos cómo se expresa en la carta  la circunferencia del plano de Lobachevski. Tracemos a través del punto M de la recta u la recta euclidiana p perpendicular a u, y elijamos en ella en el semiplano  dos puntos arbitrarios B y C (figura 24: MB > MC). Construyamos en p el punto A de tal manera que se cumpla la igualdad 

CM / AM = AM / BM 

De esta igualdad deducimos que las longitudes hiperbólicas de los segmentos CA y AB son iguales. Efectivamente, la transformación de similitud con centro de similitud M y coeficiente 

                                       

• LA EQUIDISTANTE.

Supongamos que p y q son la perpendicular y la inclinada a la recta u en cierto punto de ésta M y que P1Q1 y P2Q2 son los arcos de las circunferencias euclidianas con un centro común M o, dicho de otra manera, son segmentos de dos rectas hiperbólicas m1 y m2 (figura 26). Puesto que m1 y m2 cortan p en un ángulo recto, las longitudes hiperbólicas de los arcos P1Q1 y P2Q2 representan en si las distancias hiperbólicas de los puntos Q1 y Q2 a la recta hiperbólica p. Estas distancias hiperbólicas son iguales entre si, pues el arco P1Q1 puede ser convertido en el arco P2Q2 mediante la transformación de similitud con centro en M. 

                              

• LA LÍNEA LÍMITE.

Tracemos el diámetro p de la circunferencia q, perpendicular a la recta u, y designemos por C el punto de su intersección con q, más cercano a u (figura 27). Si se fija el punto C y se aumenta ilimitadamente el radio de la circunferencia q de tal manera que su centro se desplace por la recta p en la dirección indicada por la flecha resultará ser que, en el límite, q se convertirá en la recta euclidiana h, paralela a u. 

               

Aportes Hacia La Geometría.

Hablando en serio, el principal aporte que hizo Lobatchesky a la matemática, fue su concepto de geometría. Por principio de cuentas, el vislumbró toda una corriente denominada GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA, que rompió con los cánones de la axiomática Euclidiana de la Grecia antigua. Lobachesky introdujo el concepto de "triángulos esféricos" en un espacio que en vez de ser plano, es curvo: la suma de ángulos internos de uno de dichos triángulos deja de ser de 180 grados para ser menor (Riemann, con con un concepto similar, prueba que en un triángulo dibujado en una superficie esférica, la suma de sus ángulos internos suma más de 180 grados). Los resultados de Riemann y Lobatchevsky son tan importantes, que dieron las bases de la física relativista de Einstein, aplicadas a la teoría de la relatividad: donde el recorrido de un haz de luz, en un espacio curvo, se rige por líneas geodésicas de un espacio curvo, y no por "dos puntos de un plano" según la geometría plana euclídea, y la física newtoniana.