A mi blog, en el podrán encontrar muchísima información lo cual me imagino que les podrá ayudar en varias cosas del colegio ya que necesiten cualquier información sobre Nikolai Lobachevski, principalmente en las conjeturas relacionadas con el cálculo tensorial aplicados a los vectores

Blog Matemático.

Nikolai Ivanovich Lobachevski.

Presentado Por:

Jhoan Sebastian Pedraza Prado.

Presentado A:

Erika Ariza Garcia.

Colegio San Luis Gonzaga.

Grado 11*.

Girón.

2017.

INTRODUCCIÓN.

En el blog podrán encontrar toda la información que necesiten del matemático Nikolai Lobachevski su importancia en el cálculo, una serie  de fórmulas y  procedimientos matemáticos, porque las matemáticas son la ciencia que se ocupa  de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de comunicación, etc. Por eso verán a continuación un blog tan interesante, divertido de leer y analizar las matemáticas, también tanto histórica como social mente, forman parte de nuestra cultura, por eso los individuos deben ser capaces de apreciarlas y comprender las. Es evidente, que en nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas, como lo verán a continuación.

OBJETIVOS DEL BLOG.

Mi objetivo con el blog es llegar a entender quien fue Nikolai Ivanovich. Que hizo o realizo en el transcurso de su vida, pero también que conocieran su geometría y teoremas que nos llegasen a servir en un futuro, por eso les muestro la vida de este personaje muy importante para el mundo del calculo y las matemáticas.

otros de mis objetivos con el blog serian como, usar las matemáticas para comprender, valorar y producir informaciones sobre hechos cotidianos. Reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento, usar adecuadamente los medios tecnológicos en el cálculo y en la búsqueda, y representación de informaciones diversas, identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, usar sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

LONGITUDES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI. 

Longitud del arco de la línea límite. En la figura 38 el arco ADB de la circunferencia euclidiana con centro O en la recta u representa un segmento de la recta hiperbólica, y el segmento euclidiano AB, que es paralelo a u, representa un arco de la línea límite. 

Longitud de la circunferencia. Previamente demostraremos dos proposiciones auxiliares. 

a) Si a es una magnitud positiva suficientemente pequeña resulta que tanh a < a19.

b) Teniendo presente que los perímetros de los polígonos regulares de n lados, el inscrito y el circunscrito en la circunferencia euclidiana de radio 1, al crecer n ilimitadamente tienden a un mismo límite igual a la longitud de esta circunferencia.

Longitud del arco de la equidistante. Supongamos que los puntos P1, P2,..., Pn-1, que se encuentran a las distancias euclidianas y1, y2,..., yn-1, de la recta u, dividen el segmento AB en n partes euclídicamente iguales, y supongamos que las longitudes euclidianas de los segmentos OB y AB son iguales, respectivamente, a yω y ζ (figura 40; OBu). Examinemos los arcos AA', P1P1',..., BB' de las circunferencias euclidianas con el centro común O, que representan perpendiculares trazadas desde las puntos de la equidistante OB’ sobre su base OB. 

ACERCA DE LOS LOGARITMOS NATURALES Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS.

Establezcamos previamente algunas correlaciones importantes. Introducimos las designaciones: 

                 (10)

donde n es un número entero positivo. Es evidente que  

                                   (11)

De las igualdades (10) y (11) obtenemos: 

                                                                  (12)

                                                    (13)

                                    

Al descomponer el segundo miembro de la última igualdad en factores obtenemos 

                           

Sustituyendo en los corchetes cada uno de los factores 1 + 1/n+1 por 1 + 1/n aumentaremos la expresión (14) lo que, después de las simplificaciones, conducirá a la desigualdad 

                                                   

De aquí, en virtud de la igualdad (12) tendremos 

bn - an+1 < bn - an 

o 

an+1 > an

Por consiguiente, la magnitud an, crece con el incremento del número n. Sustituyamos ahora en los corchetes de la expresión (14) cada uno de los factores  (formula10-8) por (formula10-7). Como resultado, la expresión (14) disminuirá lo que, después de las simplificaciones, conducirá a la desigualdad 

                                                     (15)

Es fácil convencerse que 

                                           (16)

efectivamente, después de las simplificaciones, de aquí obtenemos:

                                                       

                                                                

                                     ( n + 1) ² > n ( n + 2)

La justeza de la última desigualdad es evidente. De (15), (16) y (13) obtenemos  

b _n - a _n+1 > b _n+1 - a _n+1                                                             Por eso, 
b _n > b _n+1 

Así pues, la magnitud bn disminuye con el incremento del número n. Puesto que a1 = 2, b1 = 4, de lo anterior deducimos que 
                                    2 = a _n < b _n = 4.

De aquí y de (12) se deduce la desigualdad 

            b _n - a _n < 4/n           (17) 

Como al crecer el número n crece también an, disminuye bn, y la diferencia bn - an, tiende a cero, lo que se deduce de (17), las magnitudes an y bn, tienden a un mismo límite que se ha admitido designar con la letra e, y además, la primera siempre es inferior y la segunda superior que este límite. Así
 

                                                                                    (18)

                                                          (19)

En particular, cuando n = 1 tenemos

                                                 2 < e < 4            (20) 

El número e es irracional y su valor aproximado es igual a 2,71828. De las desigualdades (19) se deduce la igualdad aproximada 

                                                                             (21)

OBSERVACIONES COMPLEMENTARIAS. 

• Al examinar la carta t puede hacerse una serie de deducciones importantes. En primer lugar, todo teorema de la geometría de Lobachevski se lleva en la carta t a cierto teorema de la geometría de Euclides. Por eso, la existencia de una contradicción en la geometría de Lobachevski llevaría tras de sí otra contradicción en la geometría euclidiana. Por consiguiente, la geometría de Lobachevski no es contradictoria. 

• En segundo lugar, el conocimiento de la geometría de Lobachevski facilita extraordinariamente la revelación de errores en los intentos de demostrar el axioma del paralelismo de Euclides que, en la mayoría de los casos, se reduce a la admisión de una suposición equivalente a este axioma. Para convencerse de lo infundada que es dicha suposición es suficiente demostrar que ésta contradice al axioma del paralelismo de Lobachevski. 

• Pondremos un ejemplo más. El matemático del siglo pasado Farkas Bolyai (el padre del mencionado más arriba Juan Bolyai) propuso una demostración del axioma del paralelismo de Euclides que se basaba en la suposición que a través de tres puntos que no pertenecen a una recta siempre puede ser trazada una circunferencia, F. Bolyai consideraba este hecho evidente, pero en la geometría de Lobachevski no tiene lugar, ya que a través de tres puntos del plano de Lobachevski que no se encuentran en una recta pasa o bien una circunferencia, o bien la línea limite, o bien la equidistante y por consiguiente, a través de tales tres puntos no siempre puede ser trazada una circunferencia.

• Lobachevski en sus investigaciones no hacía uso del método de construcción de cartas en el plano hiperbólico; este método fue propuesto por primera vez por el matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900) en una de sus obras editada en 1868, pasados 12 años desde la muerte del gran geómetra ruso. La carta del plano de Lobachevski, que examinamos en nuestro libro y que se diferencia considerablemente de la carta construida por Beltrami, fue introducida en la ciencia por el científico francés Henri Poincaré (1854-1912)